Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên n bất kì (n>1)trừ đi 13 lần số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GG
3
CX
10 tháng 2 2020
Gọi số nguyên đó là a. Ta cần chứng minh
a3+11a⋮6a3+11a⋮6
Xét: a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6
Vậy ta có đpcm.
CX
10 tháng 2 2020
Lời giải:
Xét biểu thức A=n3−13nA=n3−13n. Ta cần cm A⋮6A⋮6
Thật vậy: A=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12nA=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12n
A=n(n−1)(n+1)−12nA=n(n−1)(n+1)−12n
Vì n,n−1n,n−1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)⋮2n(n−1)⋮2
⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇒n(n−1)(n+1)⋮3
Vì n−1,n,n+1n−1,n,n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)(n+1)⋮3n(n−1)(n+1)⋮3
Kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau, do đó: n(n−1)(n+1)⋮6n(n−1)(n+1)⋮6
Mà 12n⋮612n⋮6
⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6
Ta có đpcm.
23 tháng 12 2019
Gọi số tự nhiên đó là n
Ta có
n^3-7n=n^3-n-6n=n(n^2-1)-6n
=n(n-1)(n+1)-6n \(\left(1\right)\)
Do n,n-1,n+1 là 3 stn liên tiếp
=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 6
6n chia hết cho 6
=> (1) chia hết cho 6
=>n^3-7n chia hết cho 6 ( dpcm )
LC
Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên n ( n>1) trừ đi 13 lần số nguyên đó luôn chia hết cho 6
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 3 2018
Lời giải:
Xét biểu thức \(A=n^3-13n\). Ta cần cm \(A\vdots 6\)
Thật vậy: \(A=n^3-13n=n^3-n-12n=n(n^2-1)-12n\)
\(A=n(n-1)(n+1)-12n\)
Vì \(n,n-1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích \(n(n-1)\vdots 2\)
\(\Rightarrow n(n-1)(n+1)\vdots 3\)
Vì \(n-1,n,n+1\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích \(n(n-1)(n+1)\vdots 3\)
Kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau, do đó: \(n(n-1)(n+1)\vdots 6\)
Mà \(12n\vdots 6\)
\(\Rightarrow A= n(n-1)(n+1)-12n\vdots 6\Leftrightarrow n^3-13n\vdots 6\)
Ta có đpcm.
22 tháng 7 2023
bài 5:Gọi a là số nguyên đầu tiên trong dãy 3 số nguyên liên tiếp. Ta có dãy số nguyên liên tiếp là a, a+1, a+2. Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là: a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = a^3 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) = 3a^3 + 9a^2 + 15a + 9 = 3(a^3 + 3a^2 + 5a + 3) = 3(a(a^2 + 3a + 3) + 3(a + 1)) Ta thấy a(a^2 + 3a + 3) là một số nguyên, và 3(a + 1) cũng là một số nguyên. Vậy tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
bài 6:a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.
bài 7:Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
bài 8:a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).
bài 9:a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.
bài 10:Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.
22 tháng 7 2023
Gọi a là số nguyên đầu tiên trong dãy 3 số nguyên liên tiếp. Ta có dãy số nguyên liên tiếp là a, a+1, a+2. Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là: a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = a^3 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) = 3a^3 + 9a^2 + 15a + 9 = 3(a^3 + 3a^2 + 5a + 3) = 3(a(a^2 + 3a + 3) + 3(a + 1)) Ta thấy a(a^2 + 3a + 3) là một số nguyên, và 3(a + 1) cũng là một số nguyên. Vậy tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
ChatGPT chưa có được câu trả lời, vui lòng quay lại sau
a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.
Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).
a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.
Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.
a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.
Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).
a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.
Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.